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Algebra-Unterricht in der 11. Klasse zum Thema: „Differenzierung und Integration von Exponential- und Logarithmusfunktionen“

Lernziele:

Systematisieren Sie das untersuchte Material zum Thema „Exponentielle und logarithmische Funktionen“.

Die Fähigkeit entwickeln, Probleme zu lösen, die die Differenzierung und Integration exponentieller und logarithmischer Funktionen beinhalten.

Nutzen Sie die Möglichkeiten der Informationstechnologie, um die Motivation zum Studium komplexer Themen der mathematischen Analyse zu entwickeln.

Geben Sie in der nächsten Lektion die Voraussetzungen für die Durchführung der Testarbeit zu diesem Thema an.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment (1 – 2 Minuten).

Der Lehrer kommuniziert die Ziele des Unterrichts.

Die Klasse ist in 4 Gruppen aufgeteilt.

II. Blitzumfrage mit Formeln (Hausaufgabe).

Gespräch in Form eines Dialogs mit Studierenden.

Nehmen wir an, Sie haben 10.000 Rubel zu einem Zinssatz von 12 % pro Jahr bei einer Bank eingezahlt. In wie vielen Jahren wird sich Ihre Investition verdoppeln?

Dazu müssen wir die Gleichung lösen: , das heißt Wie?

Wir müssen zur Basis 10 gehen, das heißt (mit einem Taschenrechner)

Somit wird sich der Beitrag in etwas mehr als sechs Jahren verdoppeln.

Hier brauchten wir eine Formel für den Umzug in eine neue Basis. Welche Formeln zur Differentiation und Integration logarithmischer und exponentieller Funktionen kennen Sie? (Alle Formeln sind den Seiten des Lehrbuchs entnommen, S. 81, S. 86).

Fragen aneinander in einer Kette.

Fragen an den Lehrer.

Der Lehrer bittet darum, 1–2 Formeln abzuleiten.

Auf separaten kleinen Zetteln befindet sich ein mathematisches Diktat zur Kenntnis von Formeln. Eine gegenseitige Überprüfung ist im Gange. Die Senioren der Gruppen zeigen die durchschnittliche Rechenleistung an und tragen sie in die Tabelle ein.

Aktivitätstabelle

III. Mündliche Arbeit:

Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichungen.

A) ;

B) ;

Nachdem die Schüler mit dem Overheadprojektor geantwortet haben, werden Diagramme auf dem Bildschirm angezeigt.

A) 2 Lösungen

B) 1 Lösung

Zusatzfrage: Finden Sie den größten Wert einer Funktion

Eine abnehmende Funktion hat den größten Wert, wenn der Indikator den kleinsten Wert hat.

(2 Wege)

IV. Individuelle Arbeit.

Bei der mündlichen Arbeit bearbeiten jeweils 2 Personen aus jeder Gruppe individuelle Aufgaben.

1. Gruppe: Einer erkundet die Funktion, der zweite hat ein Diagramm dieser Funktion auf der interaktiven Tafel.

Zusatzfrage:. Antwort: (Anzahl e? Siehe Seite 86 des Lehrbuchs.

Gruppe 2: Finden Sie eine Kurve, die durch den Punkt n (0; 2) verläuft, wenn die Steigung der Tangente an einem beliebigen Punkt der Kurve gleich dem Produkt der Koordinaten des Tangentenpunkts ist. Einer stellt eine Differentialgleichung auf und findet eine allgemeine Lösung, der zweite findet eine bestimmte Lösung unter Verwendung der Anfangsbedingungen.

Antwort:

Zusatzfrage: Wie groß ist der Winkel zwischen der am Punkt X=0 gezogenen Tangente an den Graphen der Funktion y = e x und x-Achse. (45 o)

Der Graph dieser Funktion wird „Exponent“ genannt (Informationen hierzu finden Sie im Lehrbuch und überprüfen Sie Ihre Begründung anhand der Erläuterungen im Lehrbuch, Seite 86).

Gruppe 3:

Vergleichen

Der eine vergleicht mit einem Mikrorechner, der andere ohne.

Zusatzfrage: Bestimmen Sie, bei welchem ​​x0 die Gleichheit liegt?

Antwort: x = 2 0,5.

Gruppe 4: Beweise das

Beweis auf unterschiedliche Weise.

Zusatzfrage: Finden Sie einen ungefähren Wert e 1.01. Vergleichen Sie Ihren Wert mit der Antwort in Beispiel 2 (Seite 86 des Lehrbuchs).

V. Arbeiten mit dem Lehrbuch.

Die Kinder werden aufgefordert, Beispiele aus Beispiel 1 – Beispiel 9 (Seiten 81 – 84 des Lehrbuchs) zu betrachten. Führen Sie anhand dieser Beispiele Kontrolltests durch.

VI. Kontrolltests.

Die Aufgabe wird auf dem Bildschirm angezeigt. Es ist eine Diskussion im Gange. Die richtige Antwort wird ausgewählt und begründet. Der Computer gibt eine Punktzahl aus. Der Älteste der Gruppe notiert in der Tabelle die Aktivität seiner Kameraden während der Prüfung.

1) Gegeben eine Funktion f(x)= 2-e 3x . Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert von C der Graph seiner Stammfunktion F(x)+C durch den Punkt verläuft M (1/3;-e/3)

Antwort: a) e-1 ; b) 5/8; c) -2/3; d) 2.

2) Gegeben eine Funktion f(x)= e 3x-2 +ln(2x+3). Finden F"(2/3)

Antwort: a) -1; b) 45/13; c) 1/3; d) 2.

3) Erfüllt die Funktion? y = e Axt Gleichung y" = ay.

Antwort: a) ja; b) nein; c) alles hängt von beiden ab; d) Es ist unmöglich, es definitiv zu sagen.

VII. Selbstständige Arbeit.

Pflichtaufgaben: Finden Sie Extrempunkte von Funktionen.

Der Älteste der Gruppe trägt die Punkte für diese Aufgabe in die Tabelle ein.

Zu diesem Zeitpunkt arbeitet eine Person aus jeder Gruppe an der Tafel mit Aufgaben erhöhter Komplexität.

Der Lehrer zeigt nebenbei die vollständige schriftliche Dokumentation der Aufgaben (sie wird auf die Leinwand projiziert, dies ist sehr wichtig für die Erledigung der anschließenden Prüfungsarbeit).

VIII. Hausaufgaben.

IX. Zusammenfassung der Lektion:

Vergabe von Noten unter Berücksichtigung der erhaltenen Punkte. Notennormen für die anstehende Prüfungsarbeit in der nächsten Unterrichtsstunde.

Unterrichtsübersicht

Betreff: Algebra

Datum: 02.04.13.

Klasse: 11. Klasse

Lehrer: Tyshibaeva N.Sh.

Thema: Unterscheidung logarithmischer und exponentieller Funktionen. Stammfunktion der Exponentialfunktion.

Ziel:

1) formulieren Formeln für Ableitungen logarithmischer und exponentieller Funktionen; lehren, wie man die Stammfunktion einer Exponentialfunktion findet

2) entwickeln Gedächtnis, Beobachtung, logisches Denken, mathematische Sprache der Schüler, die Fähigkeit zum Analysieren und Vergleichen, entwickeln kognitives Interesse am Fach;

3) die kommunikative Kultur, die Fähigkeiten der Schüler zu kollektiver Aktivität, Zusammenarbeit und gegenseitiger Hilfe zu fördern.

Unterrichtsart: Erläuterung neuer Materialien und Festigung erworbener Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Ausrüstung : Karten, interaktives Whiteboard.

Technologie: differenzierter Ansatz

Während des Unterrichts:

1.Org. Moment .(2min) .

2. Ein Kreuzworträtsel lösen (8 Min.)

1. Der französische Mathematiker Pierre Fermat aus dem 17. Jahrhundert definierte diese Linie als „die gerade Linie, die der Kurve in einer kleinen Umgebung des Punktes am nächsten liegt.“

Tangente

2.Funktion, die durch die Formel y = gegeben ist ein x.

Indikativ

3.Funktion, die durch die Formel y = log gegeben ist Axt.

Logarithmisch

4. Ableitung der Verschiebung

Geschwindigkeit

5.Wie heißt die Funktion F(x) für die Funktion f(x), wenn die Bedingung F"(x) =f(x) für jeden Punkt aus dem Intervall I erfüllt ist?

Stammfunktion

6. Wie heißt die Beziehung zwischen X und Y, bei der jedes Element von X einem einzelnen Element von Y zugeordnet ist?

Funktion

7. Wenn die Funktion f(x) in der Form f(x)=g(t(x)) dargestellt werden kann, dann heißt diese Funktion...

Komplex

Vertikaler Nachname eines französischen Mathematikers und Mechanikers

Lagrange

3.Erläuterung des neuen Materials: (10 Minuten)

Die Exponentialfunktion hat an jedem Punkt im Definitionsbereich eine Ableitung und diese Ableitung wird durch die Formel ermittelt:

(.ln a in der Formel ersetzen wir die Zahl und auf einmal bekommen wir

(e x)" = e x_ Formel Ableitung des Exponentials
Eine logarithmische Funktion hat an jedem Punkt in ihrem Definitionsbereich eine Ableitung, und diese Ableitung wird durch die Formel ermittelt:

(log a x)" = Ersetzen Sie die Zahl in der Formel und auf einmal bekommen wir

Exponentialfunktion y =(A An jedem Punkt im Definitionsbereich gibt es eine Stammfunktion, und diese Stammfunktion wird durch die Formel F(x) = gefunden+ C

4. Konsolidierung des neuen Materials (20 Min.)

Mathematische Diktate.

1. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion (a X )"

(a x)" = a x ln a

2. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion auf. (z X )"

(e x )" = e x

3. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus auf

4. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der logarithmischen Funktion auf (log a x)"=?

(log a x)" =

5. Schreiben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion f(x) = a auf X .

F(x) = + C

6. Schreiben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion auf:, x≠0. F(x)=ln|x|+С

Arbeite an der Tafel

№255,№256,№258,№259(2,4)

6.D/z Nr. 257, Nr. 261 (2 Min.)

7. Zusammenfassung der Lektion: (3 Min.)

- Wie lautet die Formel für eine logarithmische Funktion?

Welche Formel definiert die Exponentialfunktion?

Welche Formel wird verwendet, um die Ableitung einer logarithmischen Funktion zu ermitteln?

Welche Formel wird verwendet, um die Ableitung einer Exponentialfunktion zu ermitteln?

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Algebra und Beginn der mathematischen Analysis

Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen

Zusammengestellt von:

Mathematiklehrer, Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 203 KhEC

Stadt Nowosibirsk

Vidutova T.V.

Nummer e. Funktion y = e X, seine Eigenschaften, Graph, Differenzierung

Betrachten Sie die Exponentialfunktion y = a X, wobei a 1 ist.

Wir werden für verschiedene Basen bauen A Grafik:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Option 2)

(1 Option)

1) Alle Graphen gehen durch den Punkt (0; 1);

2) Alle Graphen haben eine horizontale Asymptote y = 0

bei X  ∞;

3) Alle sind konvex nach unten gerichtet;

4) Sie alle haben an allen Punkten Tangenten.

Zeichnen wir eine Tangente an den Graphen der Funktion y=2 X am Punkt X= 0 und messen Sie den Winkel, den die Tangente mit der Achse bildet X

Mithilfe präziser Konstruktionen von Tangenten an die Diagramme können Sie feststellen, dass die Basis A Exponentialfunktion y = a X die Basis nimmt allmählich von 2 auf 10 zu, dann der Winkel zwischen der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt X= 0 und die x-Achse steigt allmählich von 35’ auf 66,5’.

Deshalb gibt es einen Grund A, für den der entsprechende Winkel 45‘ beträgt. Und das ist der Sinn A wird zwischen 2 und 3 geschlossen, weil bei A= 2 beträgt der Winkel 35’, mit A= 3 entspricht 48’.

Im Zuge der mathematischen Analyse wird nachgewiesen, dass diese Grundlage existiert; sie wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet e.

Habe das festgestellt e – eine irrationale Zahl, d. h. sie stellt einen unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch dar:

e = 2,7182818284590… ;

In der Praxis geht man meist davon aus e ≈ 2,7.

Funktionsgraph und Eigenschaften y = e X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) erhöht sich;

4) nicht von oben begrenzt, von unten begrenzt

5) hat weder das Größte noch das Kleinste

Werte;

6) kontinuierlich;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) konvex nach unten;

9) differenzierbar.

Funktion y = e X angerufen Exponent .

Im Zuge der mathematischen Analyse wurde bewiesen, dass die Funktion y = e X hat an jedem Punkt eine Ableitung X :

(z X ) = e X

(z 5x )" = 5e 5x

(z x-3 )“ = z x-3

(z -4x+1 )" = -4е -4x-1

Beispiel 1 . Zeichnen Sie eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = Bsp

Antwort:

Beispiel 2 .

X = 3.

Beispiel 3 .

Untersuchen Sie die Extremumfunktion

x=0 und x=-2

X= -2 – Maximalpunkt

X= 0 – Mindestpunktzahl

Wenn die Basis eines Logarithmus eine Zahl ist e, dann sagen sie, dass es gegeben ist natürlicher Logarithmus . Für natürliche Logarithmen wurde eine spezielle Schreibweise eingeführt ln (l – Logarithmus, n – natürlich).

Diagramm und Eigenschaften der Funktion y = ln x

Eigenschaften der Funktion y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) ist weder gerade noch ungerade;

3) erhöht sich um (0; + ∞);

4) nicht beschränkt;

5) hat weder den größten noch den kleinsten Wert;

6) kontinuierlich;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) konvexe Oberseite;

9) differenzierbar.

Im Zuge der mathematischen Analyse wird dies für jeden Wert bewiesen x0 die Differenzierungsformel gilt

Beispiel 4:

Berechnen Sie den Wert der Ableitung einer Funktion an einem Punkt X = -1.

Zum Beispiel:

Internetressourcen:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Unterrichtsthema: „Differenzierung von Exponential- und Logarithmusfunktionen. Stammfunktion der Exponentialfunktion“ in UNT-Aufgaben

Ziel : Entwickeln Sie die Fähigkeiten der Studierenden, theoretisches Wissen zum Thema „Differenzierung exponentieller und logarithmischer Funktionen“ anzuwenden. Stammfunktion der Exponentialfunktion“ zur Lösung von UNT-Problemen.

Aufgaben

Lehrreich: Systematisieren Sie das theoretische Wissen der Studierenden und festigen Sie die Problemlösungsfähigkeiten zu diesem Thema.

Lehrreich: entwickeln Gedächtnis, Beobachtung, logisches Denken, mathematische Sprache der Schüler, Aufmerksamkeit, Selbstwertgefühl und Selbstkontrollfähigkeiten.

Lehrreich: beitragen:

Entwicklung einer verantwortungsvollen Einstellung der Schüler zum Lernen;

Entwicklung eines nachhaltigen Interesses an Mathematik;

Schaffung einer positiven internen Motivation, Mathematik zu studieren.

Lehrmethoden: verbal, visuell, praktisch.

Arbeitsformen: einzeln, frontal, paarweise.

Während des Unterrichts

Epigraph: „Der Geist liegt nicht nur im Wissen, sondern auch in der Fähigkeit, Wissen in der Praxis anzuwenden“ Aristoteles (Folie 2)

I. Organisatorischer Moment.

II. Das Kreuzworträtsel lösen. (Folie 3-21)

Der französische Mathematiker Pierre Fermat aus dem 17. Jahrhundert definierte diese Linie als „die gerade Linie, die der Kurve in einer kleinen Umgebung des Punktes am nächsten liegt.“

Tangente

Eine Funktion, die durch die Formel y = log gegeben ist A X.

Logarithmisch

Eine Funktion, die durch die Formel y = gegeben ist A X.

Indikativ

In der Mathematik wird dieses Konzept verwendet, um die Bewegungsgeschwindigkeit eines materiellen Punktes und den Winkelkoeffizienten einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu ermitteln.

Derivat

Wie heißt die Funktion F(x) für die Funktion f(x), wenn die Bedingung F"(x) =f(x) für jeden Punkt aus dem Intervall I erfüllt ist?

Stammfunktion

Wie heißt die Beziehung zwischen X und Y, bei der jedes Element von X einem einzelnen Element von Y zugeordnet ist?

Ableitung der Verschiebung

Geschwindigkeit

Eine Funktion, die durch die Formel y = e x gegeben ist.

Aussteller

Wenn eine Funktion f(x) als f(x)=g(t(x)) dargestellt werden kann, dann heißt diese Funktion...

III. Mathematisches Diktat (Folie 22)

1. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion auf. ( A x)" = A x ln A

2. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion auf. (e x)“ = e x

3. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung des natürlichen Logarithmus auf. (ln x)"=

4. Schreiben Sie die Formel für die Ableitung einer logarithmischen Funktion auf. (Protokoll A x)"=

5. Schreiben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion f(x) = auf A X. F(x)=

6. Schreiben Sie die allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion f(x) =, x≠0 auf. F(x)=ln|x|+C

Überprüfen Sie Ihre Arbeit (Antworten auf Folie 23).

IV. Lösen von UNT-Problemen (Simulator)

A) Nr. 1,2,3,6,10,36 auf der Tafel und im Notizbuch (Folie 24)

B) Paararbeit Nr. 19,28 (Simulator) (Folie 25-26)

V. 1. Fehler finden: (Folie 27)

1) f(x)=5 e – 3х, f "(x)= – 3 e – 3х

2) f(x)=17 2x, f "(x)= 17 2x ln17

3) f(x)=log 5 (7x+1), f "(x)=

4) f(x)= ln(9 – 4х), f "(x)=
.

VI. Studentenpräsentation.

Epigraph: „Wissen ist so kostbar, dass es keine Schande ist, es aus irgendeiner Quelle zu beziehen“ Thomas von Aquin (Folie 28)

VII. Hausaufgabe Nr. 19,20 S.116

VIII. Test (Reserveaufgabe) (Folie 29-32)

IX. Zusammenfassung der Lektion.

„Wenn Sie an einem großen Leben teilnehmen möchten, dann füllen Sie Ihren Kopf mit Mathematik, solange Sie die Gelegenheit dazu haben. Sie wird Ihnen dann ein Leben lang große Hilfe leisten.“ M. Kalinin (Folie 33)