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Folienunterschriften:

Kugel und Kugel. Städtische Bildungseinrichtung Sekundarschule Nr. 256, Fokino. Eine Kugel ist eine Fläche, die aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden. Dieser Punkt wird Mittelpunkt genannt, und der angegebene Abstand ist der Radius der Kugel oder Kugel – eines Körpers, der von einer Kugel begrenzt wird. Ein Ball besteht aus allen Punkten im Raum, die nicht mehr als einen bestimmten Punkt von einem bestimmten Punkt entfernt sind. Eine Kugel ist eine Fläche, die aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem bestimmten Abstand von einem bestimmten Punkt befinden. Dieser Punkt wird Mittelpunkt genannt, und der angegebene Abstand ist der Radius der Kugel oder Kugel – eines Körpers, der von einer Kugel begrenzt wird. Ein Ball besteht aus allen Punkten im Raum, die nicht mehr als einen bestimmten Punkt von einem bestimmten Punkt entfernt sind. Das Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit einem Punkt auf ihrer Oberfläche verbindet, wird Radius der Kugel genannt. Ein Segment, das zwei Punkte auf der Oberfläche einer Kugel verbindet und durch die Mitte verläuft, wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet, und die Enden dieses Segments werden als diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel bezeichnet. Das Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit einem Punkt auf ihrer Oberfläche verbindet, wird Radius der Kugel genannt. Ein Segment, das zwei Punkte auf der Oberfläche einer Kugel verbindet und durch die Mitte verläuft, wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet, und die Enden dieses Segments werden als diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel bezeichnet. Wie groß ist der Abstand zwischen diametral gegenüberliegenden Punkten der Kugel, wenn der Abstand des auf der Oberfläche der Kugel liegenden Punktes vom Mittelpunkt bekannt ist? Wie groß ist der Abstand zwischen diametral gegenüberliegenden Punkten der Kugel, wenn der Abstand des auf der Oberfläche der Kugel liegenden Punktes vom Mittelpunkt bekannt ist?

Eine Kugel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines Halbkreises um einen Durchmesser als Achse entsteht. Eine Kugel kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Drehen eines Halbkreises um einen Durchmesser als Achse entsteht. Die Fläche des Halbkreises sei bekannt. Finden Sie den Radius der Kugel, den Sie durch Drehen dieses Halbkreises um den Durchmesser erhalten. Die Fläche des Halbkreises sei bekannt. Finden Sie den Radius der Kugel, den Sie durch Drehen dieses Halbkreises um den Durchmesser erhalten.

Satz. Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Eine Senkrechte, die vom Mittelpunkt der Kugel auf eine Schnittebene fällt, endet im Mittelpunkt dieses Kreises. Gegeben: Beweisen: Nachweisen: Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Eckpunkte der Mittelpunkt der Kugel, die Basis einer Senkrechten, die vom Mittelpunkt auf die Ebene fällt, und ein beliebiger Schnittpunkt sind. Folge. Wenn der Radius des Balls und der Abstand vom Mittelpunkt des Balls zur Schnittebene bekannt sind, wird der Radius des Schnitts mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet. Der Durchmesser der Kugel und der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Schnittebene seien bekannt. Finden Sie den Radius des Kreises des resultierenden Abschnitts. Der Durchmesser der Kugel und der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Schnittebene seien bekannt. Finden Sie den Radius des Kreises des resultierenden Abschnitts.

Je kleiner der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene ist, desto größer ist der Radius des Abschnitts. Eine Kugel mit dem Radius fünf hat einen Durchmesser und zwei Abschnitte senkrecht zu diesem Durchmesser. Einer der Abschnitte befindet sich im Abstand von drei vom Mittelpunkt der Kugel, der zweite im gleichen Abstand vom nächstgelegenen Ende des Durchmessers. Markieren Sie den Abschnitt, dessen Radius größer ist. Eine Kugel mit dem Radius fünf hat einen Durchmesser und zwei Abschnitte senkrecht zu diesem Durchmesser. Einer der Abschnitte befindet sich im Abstand von drei vom Mittelpunkt der Kugel, der zweite im gleichen Abstand vom nächstgelegenen Ende des Durchmessers. Markieren Sie den Abschnitt, dessen Radius größer ist.

Aufgabe. Auf einer Kugel mit Radius R Es werden drei Punkte genommen, die die Eckpunkte eines regelmäßigen Dreiecks mit Seite sind A. In welchem ​​Abstand vom Mittelpunkt der Kugel verläuft die Ebene durch diese drei Punkte?

Gegeben:

Finden:

Der größte Radius des Abschnitts ergibt sich, wenn die Ebene durch die Kugelmitte verläuft. Der in diesem Fall erhaltene Kreis wird Großkreis genannt. Ein großer Kreis teilt die Kugel in zwei Halbkugeln. Der größte Radius des Abschnitts ergibt sich, wenn die Ebene durch die Kugelmitte verläuft. Der in diesem Fall erhaltene Kreis wird Großkreis genannt. Ein großer Kreis teilt die Kugel in zwei Halbkugeln. In eine Kugel, deren Radius bekannt ist, werden zwei große Kreise gezeichnet. Wie lang ist ihr gemeinsames Segment? In eine Kugel, deren Radius bekannt ist, werden zwei große Kreise gezeichnet. Wie lang ist ihr gemeinsames Segment?

Eine Ebene und eine Linie, die eine Kugel tangieren. Eine Ebene, die mit einer Kugel nur einen gemeinsamen Punkt hat, wird Tangentenebene genannt. Die Tangentenebene steht senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird. Lassen Sie eine Kugel, deren Radius bekannt ist, auf einer horizontalen Ebene liegen. In dieser Ebene durch den Berührungspunkt und den Punkt IN Es wird ein Segment gezeichnet, dessen Länge bekannt ist. Wie groß ist der Abstand von der Mitte des Balls zum gegenüberliegenden Ende des Segments? Lassen Sie eine Kugel, deren Radius bekannt ist, auf einer horizontalen Ebene liegen. In dieser Ebene durch den Berührungspunkt und den Punkt IN Es wird ein Segment gezeichnet, dessen Länge bekannt ist. Wie groß ist der Abstand von der Mitte des Balls zum gegenüberliegenden Ende des Segments?

Eine Gerade heißt Tangente, wenn sie mit der Kugel genau einen gemeinsamen Punkt hat. Eine solche Gerade verläuft senkrecht zum Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird. Durch jeden Punkt der Kugel können unendlich viele Tangenten gezogen werden. Eine Gerade heißt Tangente, wenn sie mit der Kugel genau einen gemeinsamen Punkt hat. Eine solche Gerade verläuft senkrecht zum Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird. Durch jeden Punkt der Kugel können unendlich viele Tangenten gezogen werden. Gegeben sei eine Kugel, deren Radius bekannt ist. Man nimmt einen Punkt außerhalb des Balls und zieht durch diesen eine Tangente an den Ball. Die Länge des Tangentensegments von einem Punkt außerhalb der Kugel bis zum Kontaktpunkt ist ebenfalls bekannt. Wie weit ist der äußere Punkt vom Mittelpunkt des Balls entfernt? Gegeben sei eine Kugel, deren Radius bekannt ist. Man nimmt einen Punkt außerhalb des Balls und zieht durch diesen eine Tangente an den Ball. Die Länge des Tangentensegments von einem Punkt außerhalb der Kugel bis zum Kontaktpunkt ist ebenfalls bekannt. Wie weit ist der äußere Punkt vom Mittelpunkt des Balls entfernt?

Die Seiten des Dreiecks betragen 13 cm, 14 cm und 15 cm. Ermitteln Sie den Abstand zwischen der Dreiecksebene und der Mitte der Kugel, die die Seiten des Dreiecks berührt. Der Radius der Kugel beträgt 5 cm, die Seiten des Dreiecks betragen 13 cm, 14 cm und 15 cm. Ermitteln Sie den Abstand zwischen der Dreiecksebene und der Mitte der Kugel, die die Seiten des Dreiecks berührt. Der Radius der Kugel beträgt 5 cm.

Gegeben:

Finden:

Durch einen Punkt auf einer Kugel, deren Radius gegeben ist, werden ein Großkreis und ein Abschnitt gezeichnet, der die Ebene des Großkreises in einem Winkel von sechzig Grad schneidet. Finden Sie die Querschnittsfläche. Durch einen Punkt auf einer Kugel, deren Radius gegeben ist, werden ein Großkreis und ein Abschnitt gezeichnet, der die Ebene des Großkreises in einem Winkel von sechzig Grad schneidet. Finden Sie die Querschnittsfläche.

Die relative Position zweier Kugeln. Wenn zwei Kugeln oder Kugeln nur einen gemeinsamen Punkt haben, dann sagt man, dass sie sich berühren. Ihre gemeinsame Tangentialebene steht senkrecht zur Mittelpunktslinie (der geraden Linie, die die Mittelpunkte beider Kugeln verbindet). Der Kontakt der Kugeln kann innen oder außen erfolgen. Der Kontakt der Kugeln kann innen oder außen erfolgen. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier sich berührender Kugeln beträgt fünf, und der Radius einer der Kugeln beträgt drei. Finden Sie die Werte, die der Radius der zweiten Kugel annehmen kann. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier sich berührender Kugeln beträgt fünf, und der Radius einer der Kugeln beträgt drei. Finden Sie die Werte, die der Radius der zweiten Kugel annehmen kann.

Zwei Kugeln schneiden sich kreisförmig. Die Mittelpunktslinie steht senkrecht zur Ebene dieses Kreises und verläuft durch dessen Mittelpunkt. Zwei Kugeln schneiden sich kreisförmig. Die Mittelpunktslinie steht senkrecht zur Ebene dieses Kreises und verläuft durch dessen Mittelpunkt. Zwei Kugeln mit dem gleichen Radius, gleich fünf, schneiden sich und ihre Mittelpunkte haben den Abstand acht. Finden Sie den Radius des Kreises, entlang dem sich die Kugeln schneiden. Dazu ist es notwendig, den Schnitt zu betrachten, der durch die Mittelpunkte der Kugeln verläuft. Zwei Kugeln mit dem gleichen Radius, gleich fünf, schneiden sich und ihre Mittelpunkte haben den Abstand acht. Finden Sie den Radius des Kreises, entlang dem sich die Kugeln schneiden. Dazu ist es notwendig, den Schnitt zu betrachten, der durch die Mittelpunkte der Kugeln verläuft.

Beschriftete und umschriebene Kugeln. Eine Kugel (Kugel) heißt umschrieben von einem Polyeder, wenn alle Eckpunkte des Polyeders auf der Kugel liegen. Welches Viereck kann an der Basis einer in eine Kugel eingeschriebenen Pyramide liegen? Welches Viereck kann an der Basis einer in eine Kugel eingeschriebenen Pyramide liegen?

Eine Kugel gilt als in ein Polyeder, insbesondere in eine Pyramide, eingeschrieben, wenn sie alle Flächen dieses Polyeders (Pyramide) berührt. Eine Kugel gilt als in ein Polyeder, insbesondere in eine Pyramide, eingeschrieben, wenn sie alle Flächen dieses Polyeders (Pyramide) berührt. An der Basis einer dreieckigen Pyramide liegt ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis und Seiten bekannt sind. Alle Seitenkanten der Pyramide sind gleich 13. Finden Sie die Radien der umschriebenen und eingeschriebenen Kugeln. An der Basis einer dreieckigen Pyramide liegt ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis und Seiten bekannt sind. Alle Seitenkanten der Pyramide sind gleich 13. Finden Sie die Radien der umschriebenen und eingeschriebenen Kugeln.

Gegeben:

Finden:

Stufe II. Ermitteln des Radius einer eingeschriebenen Kugel.

Die zweite Möglichkeit, den Radius einer eingeschriebenen Kugel zu berechnen, basiert auf der Tatsache, dass der Mittelpunkt einer in einem Diederwinkel eingeschriebenen Kugel von ihren Seiten gleich weit entfernt ist und daher auf der Winkelhalbierenden liegt. Die zweite Möglichkeit, den Radius einer eingeschriebenen Kugel zu berechnen, basiert auf der Tatsache, dass der Mittelpunkt einer in einem Diederwinkel eingeschriebenen Kugel von ihren Seiten gleich weit entfernt ist und daher auf der Winkelhalbierenden liegt. Die Seitenlänge der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide beträgt 6 und der Winkel zwischen der Basis und der Seitenfläche beträgt 60°. Bestimmen Sie den Radius der eingeschriebenen Kugel.

Gegeben:

Finden:

• Das Segment, das den Mittelpunkt der Kugel mit der Mitte der Basisseite verbindet, halbiert den Diederwinkel an der Basis.

Ball und Kugel

Ball- ein durch eine Fläche begrenzter geometrischer Körper, dessen Punkte alle in gleichem Abstand vom Mittelpunkt liegen. Dieser Abstand wird aufgerufen Radius des Balls. Die Kugel entsteht durch Drehung eines Halbkreises um ihren festen Durchmesser. Dieser Durchmesser wird genannt Kugelachse, und beide Enden davon - Pole des Balls. Die Oberfläche des Balls wird genannt Kugel .

Beispiele für Körper in Kugel- oder Kugelform:

• Die Kuppel eines Gebäudes kann die Form eines durch eine Ebene abgeschnittenen Teils einer Kugel haben.

• Die Erde hat eine Form, die einer Kugel ähnelt.

• Bälle zum Fußball- und Tennisspielen haben eine kugelförmige Form.

Ihre Beispiele:

• Wenn die Schnittebene durch die Mitte der Kugel verläuft, wird der Abschnitt der Kugel genannt großer Kreis. Andere ebene Abschnitte der Kugel heißen kleine Kreise
• Jedes Segment, das den Mittelpunkt einer Kugel mit einem Punkt auf einer Kugeloberfläche (Kugel) verbindet, heißt Radius .
• Ein Segment, das zwei Punkte auf einer Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, heißt Durchmesser .

• Es werden Enden mit beliebigem Durchmesser genannt diametral gegenüberliegende Punkte der Kugel.
• Die Ebene, die durch die Mitte der Kugel verläuft, heißt Mittelebene .

• Jeder Schnitt einer Kugel durch eine Ebene ist ein Kreis. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist die Basis der Senkrechten, die vom Mittelpunkt der Kugel auf die Schnittebene gezogen wird.
• Jede diametrale Ebene einer Kugel ist ihre Symmetrieebene. Der Mittelpunkt des Balls ist sein Zentrum der Symmetrie .

Grundformeln

Die Fläche einer Kugel mit Radius R wird nach der Formel berechnet

Aufgaben zum Thema „Ball und Kugel“

1.Der Radius der Kugel wurde um das Dreifache vergrößert. Wie oft wird sich die Fläche der Kugel vergrößern?

2. Eine Kugel mit einem Radius von 41 dm wird von einer Ebene im Abstand von 9 dm vom Mittelpunkt geschnitten. Finden Sie die Querschnittsfläche.

3. Eine dazu senkrechte Ebene wird durch die Mitte des Kugelradius gezogen. Wie verhält sich die Fläche des resultierenden Abschnitts zur Fläche eines Großkreises?

4. Radius des Balls R . Durch das Ende des Radius wird eine Ebene im Winkel von 60° gezeichnet 0 zu ihm. Finden Sie die Querschnittsfläche.

Das Symbol der Kugel ist die Globalität der Erdkugel. Als Symbol der Zukunft unterscheidet es sich vom Kreuz dadurch, dass es Leiden und Tod des Menschen verkörpert. Im alten Ägypten kam man erstmals zu dem Schluss, dass die Erde kugelförmig sei. Diese Annahme diente als Grundlage zahlreicher Gedanken über die Unsterblichkeit der Erde und die Möglichkeit der Unsterblichkeit der sie bewohnenden Lebewesen.

Dieser Punkt (O) wird Mittelpunkt der Kugel genannt. Jedes Segment, das den Mittelpunkt und einen beliebigen Punkt der Kugel verbindet, wird als Radius der Kugel (R-Radius der Kugel) bezeichnet. Ein Segment, das zwei Punkte einer Kugel verbindet und durch deren Mittelpunkt verläuft, wird als Durchmesser der Kugel bezeichnet. Offensichtlich beträgt der Durchmesser der Kugel 2R.

Definition einer Kugel Eine Kugel ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einem Abstand befinden, der nicht größer als ein bestimmter Abstand von einem bestimmten Punkt (oder einer durch eine Kugel begrenzten Figur) ist. Ein von einer Kugel begrenzter Körper wird Kugel genannt. Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel werden auch Mittelpunkt, Radius und Durchmesser einer Kugel genannt. Ball

Die durch die Kugelmitte verlaufende Ebene wird Diametralebene genannt. Der Schnitt einer Kugel durch die Diametralebene wird Großkreis genannt, und der Schnitt einer Kugel wird Großkreis genannt ein großer Kreis.

X²+y²=R²-d² Wenn d>R, dann haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte. R, dann haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte. "> R, dann haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte."> R, dann haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte. " title=" x²+y²=R² -d² Wenn d>R, dann haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte."> title="x²+y²=R²-d² Wenn d>R, dann haben die Kugel und die Ebene keine gemeinsamen Punkte."> !}

Tangente Ebene zu einer Kugel Tangente Ebene zu einer Kugel Eine Ebene, die nur einen gemeinsamen Punkt mit der Kugel hat, wird Tangente Ebene zur Kugel genannt, der Tangentenpunkt A der Ebene und der Kugel. Und ihr gemeinsamer Punkt wird Tangentenpunkt genannt A der Ebene und der Kugel.

Satz: Der Radius einer Kugel, die zum Berührungspunkt zwischen Kugel und Ebene gezogen wird, steht senkrecht zur Tangentenebene. Beweis: Betrachten Sie die Ebene α tangential zur Kugel mit dem Mittelpunkt O im Punkt A. Lassen Sie uns beweisen, dass OA senkrecht zu α steht. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann ist der Radius OA zur Ebene α geneigt, und daher ist der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zur Ebene kleiner als der Radius der Kugel. Daher schneiden sich die Kugel und die Ebene entlang eines Kreises. Dies widerspricht der Tatsache, dass Tangente, d.h. Die Kugel und die Ebene haben nur einen gemeinsamen Punkt. Der resultierende Widerspruch beweist, dass OA senkrecht zu α steht.

Im Rahmen des Studiums der Stereometrie – einem der Hauptabschnitte der Geometrie – beim Studium von Figuren im Raum wird auf die Betrachtung von Körpern wie einer Kugel und einem Ball geachtet. Definitionen und Hauptmerkmale dieser stereometrischen Körper werden in der Präsentation gegeben. Mit seiner Hilfe können Sie einen strukturierten Unterricht für Schüler der 10. Klasse erstellen.

Bevor wir mit dem Studium der Kugel und des Balls selbst fortfahren, sollten wir uns daran erinnern, was ein Kreis und ein Kreis sind. Dem Studium dieser Figuren im Flugzeug war bisher eine Vielzahl von Unterrichtsstunden gewidmet, in denen die Grundformeln, Konzepte und Eigenschaften dieser Figuren besprochen wurden. Es wurden zahlreiche Probleme und interessante Beispiele gelöst.

Nehmen wir einen bestimmten Punkt im Raum, dann bildet die Menge aller äquidistanten Punkte eine Figur, die Kugel genannt wird. Auf der zweiten Folie der Präsentation wird nach der Demonstration der Definitionen eines Kreises und eines Kreises ein Bild einer Kugel gezeigt. Es wird eine theoretische Definition gegeben, die verstanden und erinnert und auch reproduziert werden muss.

Jede Kugel hat Parameter wie Radius, Durchmesser, Mittelpunkt usw. Der Durchmesser ist wie bei einem Kreis und einem Kreis das Doppelte des Produkts aus dem Radius.

Sie werden analog zu den Bezeichnungen für einen Kreis bezeichnet, also durch die lateinischen Buchstaben r und d. Um sich eine Kugel vorzustellen, können Sie sich eine Kugel ansehen – sie stellt eine geometrische Figur dar.

Was ist ein Ball? Die Definition dieses Gremiums findet sich auf einer separaten Folie, die die Definition und einige Begründungen enthält.

Mittelpunkt, Radius und Durchmesser der Kugel stimmen mit Mittelpunkt, Radius und Durchmesser der Kugel überein, an die sie gebunden ist.

Ist es möglich, durch Rotation eine Kugel zu erhalten? Natürlich ja. Diese Frage kann Schülern gestellt werden, damit sie die Möglichkeit haben, räumliches Denken zu entwickeln.

Um durch Bewegung eine Kugel zu erhalten, muss man einen Halbkreis nehmen und ihn um seinen Durchmesser in Rotation versetzen. Dies wird auf Folie 5 demonstriert.

Die letzten Folien der Präsentation „Ball and Sphere“ widmen sich der Betrachtung praktischer Probleme. Am Beispiel dieser Aufgaben können Sie ähnliche Beispiele lösen, die sowohl bei Hausaufgaben als auch bei Tests in der Schule vorkommen können.

Diese Präsentation ist sowohl für unerfahrene Tutoren oder Lehrer als auch für erfahrene Fachleute nützlich. Durch den Einsatz einer Präsentation können Sie ein effektiveres Ergebnis erzielen.